正弦函数图像 正弦曲线的图像

细品教材 众所周知,海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次,因此潮汐是周期现象.当潮汐发生时,水的深度会发生周期性的变化,这种周期性的变化,与正弦函数的周期性变化有什么联系吗? 一、正弦函数的图象 1.正弦函数y=si

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细品教材
众所周知,海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次,因此潮汐是周期现象.当潮汐发生时,水的深度会发生周期性的变化,这种周期性的变化,与正弦函数的周期性变化有什么联系吗?
正弦函数图像 正弦曲线的图像

一、正弦函数的图象
1.正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象
利用单位圆中的正弦线作y=sinx,x∈[0,2π]的图象.如下图,在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆,从⊙O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份,过⊙O1上各分点分别作x轴的垂线,得到对应于角正弦函数图像 正弦曲线的图像

等分点的正弦线.相应地,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份,再把角x所对应的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合,最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到了函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象.
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2正弦曲线
(1)任意给定一个实数x,有唯一确定的值sinx与之对应.由这个对应法则所确定的函数y=sinx叫做正弦函数,其定义域是R.
(2)根据诱导公式一,终边相同的角的三角函数值相等,可知函数y=sinx,x∈[2kπ,2(k+1)π),k∈Z且k≠0的图象,与函数y=sinx,x∈[0,2π)的图象的形状完全一致,只是位置不同.我们只需把y=sinx,x∈[0,2π)的图象左、右平移(每次2π个单位长度),就可得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象(如下图).
正弦函数图像 正弦曲线的图像

正弦函数的图象叫做正弦曲线.
技术提示
(1)利用单位圆和三角函数线画三角函数图象的方法称为几何法作图,其优点是图象精确,缺点是画图比较麻烦,影响解题速度.
(2)作图象时,函数的自变量要用弧度制,这样自变量与函数值均为实数,因此在x轴、y轴上可以统一单位,作出的图象较为准确.
【示例】函数y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致图象为下图中的( )
正弦函数图像 正弦曲线的图像

正弦函数图像 正弦曲线的图像

正弦函数图像 正弦曲线的图像

正弦函数图像 正弦曲线的图像

思路分析:令x=0,则y=1-sinx=1,因此图象过(0,1),可排除C、D,又令正弦函数图像 正弦曲线的图像

,则y=1-sinx=2,可排除A.
答案:B
状元笔记
“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.这是作正、余弦函数图象、研究正、余弦函数性质时的最常用方法.
二、“五点法”作简图
通过正弦曲线可以发现,这些曲线可以按照闭区间…,[-4π,-2π],[-2π,0],[0,2π],[2π,4π],…分段,这些闭区间的长度都等于2π个单位长度,并且在每一个闭区间上曲线的形状完全一致.因此,要研究曲线的形状,只需选一个闭区间,在这里,我们不妨选择[0,2π],显然,有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作用.对于正弦曲线(如下图),它们是(0,0),正弦函数图像 正弦曲线的图像

,(π,0),正弦函数图像 正弦曲线的图像

,(2π,0)因此,在精确度要求不太高时,可先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,就得到相应函数的简图.这种方法称为“五点(画图)法”.
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技术提示
五点法作简图抓住了正弦函数图象的特征,反映了正弦曲线的基本特征,其中需特别注意的是曲线的走向,把握住简图的画法,有助于快速解题.

综合探究
1余弦曲线
根据诱导公式正弦函数图像 正弦曲线的图像

,可知y=cosx与正弦函数图像 正弦曲线的图像

是同一函数,而正弦函数图像 正弦曲线的图像

的图象可由y=sinx的图象向左平移正弦函数图像 正弦曲线的图像

个单位得到,即余弦函数的图象是由正弦函数的图象向左平移正弦函数图像 正弦曲线的图像

个单位而得到的.如下图所示:
正弦函数图像 正弦曲线的图像

余弦函数的图象叫做余弦曲线.
事实上,正弦函数图像 正弦曲线的图像

,可知余弦函数y=cosx,x∈R与函数正弦函数图像 正弦曲线的图像

也是同一函数,余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移正弦函数图像 正弦曲线的图像

个单位而得到.
2五点法画正、余弦函数的图象
画正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,有五个关键点,它们是(0,0),正弦函数图像 正弦曲线的图像

,(π,0),正弦函数图像 正弦曲线的图像

,(2π,0),因此描出这五点后,正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]图象的形状基本上就确定了.在描点时,光滑曲线是指经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”形状,经过位于x轴的点时要改变“圆弧的圆心位置”.用五点法画余弦函数y=cosx的图象时也是一样.
注意:
(1)五点法是我们画三角函数图象的基本方法,与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中.
(2)作图象时,函数自变量要用弧度制,这样自变量与函数值均为实数.
对于一些正、余弦函数的变形形式,如画正弦函数图像 正弦曲线的图像

正弦函数图像 正弦曲线的图像

的图象时,应当令正弦函数图像 正弦曲线的图像

分别等于正弦函数图像 正弦曲线的图像

得到对应的x值与y值,然后再描点连线成图.其取值如下表:
正弦函数图像 正弦曲线的图像

描点连线如下图:
正弦函数图像 正弦曲线的图像

【示例】试用五点法画函数正弦函数图像 正弦曲线的图像

的简图.
思路分析:抓住关键点,横坐标依次为正弦函数图像 正弦曲线的图像

的点.
解:列表:
正弦函数图像 正弦曲线的图像

画图(如图):
正弦函数图像 正弦曲线的图像

3.正、余弦函数的对称性质
正弦函数y=sinx图象的对称轴为直线正弦函数图像 正弦曲线的图像

,并且对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是正弦函数的最值,对称中心为(kπ,0)(k∈Z),正弦函数的图象与x轴的交点均是正弦函数的对称中心.
余弦函数y=cosx图象的对称轴为直线x=kπ(k∈Z),并且对称轴与余弦曲线的交点的纵坐标是余弦函数的最值,对称中心为正弦函数图像 正弦曲线的图像

,余弦函数的图象与x轴的交点均是余弦函数的对称中心.

归纳整理
本节的主要内容是正、余弦函数的图象——正、余弦曲线的画法:几何法与五点法.几何法是用单位圆和三角函数线作图,图形准确但画图麻烦;五点法只能作简图,但方便快捷.重点是会用五点法画函数简图,以解决相关问题.
正弦函数图像 正弦曲线的图像


答案:
①单位圆 ②三角函数线 ③(0,0) ④正弦函数图像 正弦曲线的图像

⑤(π,0) ⑥正弦函数图像 正弦曲线的图像

⑦(2π,0) ⑧(0,1) ⑨正弦函数图像 正弦曲线的图像

⑩(π,-1) 正弦函数图像 正弦曲线的图像

正弦函数图像 正弦曲线的图像

正弦函数图像 正弦曲线的图像

(2π,1)

思考发现
1.y=sinx的五个特殊点(0,0)、正弦函数图像 正弦曲线的图像

,(π,0),正弦函数图像 正弦曲线的图像

、(2π,0);
y=cosx的五个特殊点(0,1)、正弦函数图像 正弦曲线的图像

、(π,-1)、正弦函数图像 正弦曲线的图像

、(2π,1).
2.五点法作y=Asin(ωx+φ)的简图,五点的取法是ωx+φ分别等于正弦函数图像 正弦曲线的图像

来求得相应的x值及对应的y值,最后描点成图.
3.含有三角式、指数式、对数式的方程叫做超越方程,用初等解方程的方法不能求它的解;通常把这类方程分解成两个函数,把求方程的解转化为求两个函数的交点问题.
4.利用单位圆或正弦曲线解简单三角不等式时,可先在长度为[0,2π]的区间上找到适合不等式的解,再把它扩展到整个定义域中去.

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