三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

数学必修4——三角函数的图像与性质一.教学内容:三角函数的图像与性质二.教学目标:了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A、ω、φ的物理意义。三.知识要点:

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数学必修4——三角函数的图像与性质

一.教学内容:

三角函数的图像与性质

二.教学目标:

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A、ω、φ的物理意义。

三.知识要点:

1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

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2.三角函数的单调区间:

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

的递增区间是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

递减区间是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

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的递增区间是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

递减区间是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

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的递增区间是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

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3.函数三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

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最大值是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,最小值是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,周期是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,频率是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,相位是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,初相是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

;其图象的对称轴是直线三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,凡是该图象与直线三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

的交点都是该图象的对称中心。

4.由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活地进行图象变换。

利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。

途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y=sinx的图象向左(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

>0)或向右(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

<0=平移|三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

|个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

倍(ω>0),便得到y=sin(ωx三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

倍(ω>0),再沿x轴向左(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

>0)或向右(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

<0,平移三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

个单位,便得到y=sin(ωx三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)的图象。

5.对称轴与对称中心:

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

的对称轴为三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,对称中心为三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

的对称轴为三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,对称中心为三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

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对于三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

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来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点相联系。

6.五点法作y=Asin(ωx+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)的简图:

五点法是设X=ωx+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,由X取0、三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

、π、三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。

【典型例题】

例1.把函数y=cos(x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)的图象向左平移三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

个单位,所得的函数为偶函数,则三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

的最小值是()

A.三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

B.三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

C.三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

D.三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

解:先写出向左平移4个单位后的解析式,再利用偶函数的性质求解。

向左平移三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

个单位后的解析式为y=cos(x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

则cos(-x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)=cos(x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

),

cosxcos(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)+sinxsin(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)=cosxcos(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)-sinxsin(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

∴sinxsin(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)=0,x∈R.

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

=kπ,∴三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

=kπ-三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

>0

k三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,∴k=2,∴三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

答案:B

例2.试述如何由y=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sin(2x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)的图象得到y=sinx的图象。

解:y=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sin(2x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

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另法答案:

(1)先将y=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sin(2x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)的图象向右平移三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

个单位,得y=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sin2x的图象;

(2)再将y=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sinx的图象;

(3)再将y=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象。

例3.求函数y=sin4x+2三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间。

解:y=sin4x+2三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sinxcosx-cos4x

=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sin2x

=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sin2x-cos2x

=2sin(2x三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

).

故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;单调递增区间是[0,三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

],[三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,π]

点评:把三角函数式化简为y=Asin(ωx+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)+kω>0)是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法。

例4.已知电流I与时间t的关系式为三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

(1)下图是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

(ω>0,三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

在一个周期内的图象,根据图中数据求三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

的解析式;

(2)如果t在任意一段三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

秒的时间内,电流三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?

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解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力。

(1)由图可知A=300

t1=-三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

t2=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

则周期T=2(t2-t1)=2(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

ω三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

=150π

将点三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

代入

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故所求的解析式为三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

(2)依题意,周期T三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,即三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

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,(ω>0)

∴ω≥300π>942,又ω∈N*

故最小正整数ω=943.

点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用图是形数结合的有效途径。

【模拟试题】

1.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是()

A.(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

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)∪(π,三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

) B.(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,π)

C.(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

) D.(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,π)∪(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

2.如果函数fx)=sin(πx+θ)(0<θ<2π=的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么()

A.T=2,θ=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

3.设函数fx)=A+Bsinx,若B<0时,fx)的最大值是三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,最小值是-三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,则A=_______,B=_______。

4.已知函数y=tan(2x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)的图象过点(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,0),则三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

可以是()

A.-三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

B.三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

C.-三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

D.三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

5.函数y=sin(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

-2x)+sin2x的最小正周期是()

A. 2π B.π C.三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

D. 4π

6.若fx)sinx是周期为π的奇函数,则fx)可以是()

A. sinxB. cosxC. sin2xD. cos2x

7.函数y=2sin(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

-2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是()

A.[0,三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

] B.[三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

C.[三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

] D.[三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,π]

8.把y=sinx的图象向左平移三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

个单位,得到函数__________的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数__________的图象。

9.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______.

10.fx)=2cos2x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sin2x+aa为实常数)在区间[0,三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

]上的最小值为-4,那么a的值等于()

A. 4 B.-6 C.-4 D.-3

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【试题答案】

1.答案:C

2.解析:T=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

=2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使上式取得最大值,可取θ=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

答案:A

3.解析:根据题意,由三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

可得结论

答案:三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

-1

4.解析:将(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

,0)代入原函数可得,tan(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)=0,再将A、B、C、D代入检验即可。

答案:A

5.解析:y=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

cos2x三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sin2x+sin2x=三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

cos2x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sin2x=sin(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

+2x),T=π.

答案:B

6.答案:B

7.解析:对于y=2sin(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

-2x)=-2sin(2x三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

),其增区间可由y=2sin(2x三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)的减区间得到,即2kπ+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

≤2x三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

≤2kπ+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

k∈Z。

kπ+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

xkπ+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

k∈Z.令k=0,故选C.

答案:C

8.解析:向左平移三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

个单位,即以x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

x,得到函数y=sin(x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

),再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,即以三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

xx,得到函数:y=sin(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)。

答案:y=sin(x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

y=sin(三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

9.解析:由cosx-sinx>0三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

cosx>sinx.由图象观察,知2kπ-三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

x<2kπ+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

k∈Z)

答案:2kπ-三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

x<2kπ+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

k∈Z)

10.解析:fx)=1+cos2x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

sin2x+a=2sin(2x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)+a+1.

x∈[0,三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

],∴2x+三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

∈[三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

].

fx)的最小值为2×(-三角函数图像 数学必修4——三角函数的图像与性质

)+a+1=-4

a=-4.

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